bileşke fonksiyon soruları, integral soru çözümü, trigonometrik fonksiyonların integrali, limitle ilgili çözümlü sorular, türev çözümlü sorular, türev soruları, türev çözümlü örnekler, çözümlü türev soruları, integral konuları, belirsiz integral soruları, türev integral soruları, türev örnek sorular, bileşke fonksiyon örnekler, türev alma kuralları ile ilgili sorular, türev ile ilgili çözümlü sorular,

FONKSİYON

TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.

Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,

a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.

b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.

A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.

f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.

TERS FONKSİYON:
f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.

f: A B f-1 : B A
f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)

ÖRNEKLER:
1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir?
Çözüm:


2. R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)
Çözüm:






BİLEŞKE FONKSİYON:
f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.

ÖZELLİKLERİ:
1) fog gof
2) (fog)oh = fo(goh
3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)
4) foI = Iof = f
5) (f-1)-1 = f
6) (fog)-1 = g-1of-1
7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1
8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h

ÖRNEKLER:
1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?
Çözüm:
(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )
= g(- 3) = - 3 + 1 = - 2
2. f ve g : R R’ye
f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.
Çözüm:

3. f ve g : R R’ye
f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?
Çözüm:
(gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1

g (x) = (3x + 2) of-1
f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.

4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?
Çözüm:
(f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)
g (x) = f-1 o(6x + 1)
f (x) =
g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)
g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4
5. f ve g : R R’ye
(gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?
Çözüm:
(g-1ogof)(x) = g-1 o



LİMİT
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
TANIM
A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t
x xo
şeklinde gösterilir.

SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
SAĞDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde
x x+o
gösterilir.

SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2
x x-o

ÖRNEK:
x2 + 1, x 0 ise,
x + 1 , x < 0 ise,

fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?

ÇÖZÜM:
lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
x 0+ x 0+

lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
x 0- x 0-

O halde lim f(x) = 1 dir.
x 0


LİMİT TEOREMLERİ:

1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)
x x0 x x0 x x0

2) lim (f(x).g(x)) = lim f(x).lim g(x)
x x0 x x0 x x0

3) lim c = c (c R)
x x0

4) lim (c.f(x)) = c . lim f(x)
x x0 x x0

5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise
x x0



6) n N+ olmak üzere


7) n tek doğal sayı ise,



8) n çift doğal sayı ve f(x) 0 ise


BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

ifadesinin değeri nedir?


ÇÖZÜM:



B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

limitinin değeri nedir?

ÇÖZÜM:



Payın derecesi paydadan büyük olduğundan




ÇÖZÜMLÜ TEST

1. değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm 1.:

dır. O halde,




Cevap: B


2. limitinin değeri nedir?

A) B) C) D) E)

Çözüm 2.:


Cevap: C



TÜREV VE UYGULAMALARI

TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.

limiti bir gerçel sayı ise,

bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.



ÖRNEK:

f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f(1) = - 12 + 2 = 1
f’(1)



NOT:




ÖRNEK:

f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.

a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?

ÇÖZÜM:

a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.

b)

TÜREV ALMA KURALLARI:

1) c R olmak üzere
f (x) = c f’(x) = 0
2) f (x) = x f’(x) = 1
3) f (x) = cx f’(x) = c
4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1
5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x
6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x
7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u
8) f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t
+ t’x . u . v
9) f (x) =
10) f (x) =

ÖRNEKLER:
1. f (x) = 5 f’(x) = 0
2. f (x) = f’(x) = 0
3. f (x) = x5 f’(x) = 5x4
4. f (x) = x f’(x) = 1
5. f (x) = 2x f’(x) = 2
6. f (x) =

7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2

8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
= 11(3x2 + 5)10 . 6x
= 66x (3x2 + 5)10

9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:

olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
A)
1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx
3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x

4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)


ÖRNEKLER:
1. f (x) = Secx f’(x) = ?
ÇÖZÜM:


2. f (x) = Cosec f’(x) =?
ÇÖZÜM:


B.
1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]
3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]

4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]

ÖRNEKLER:
1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)

4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)

İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:
f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3

BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx

ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3x2) = 3x2 + C
3. 5x4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx



ÖRNEKLER:
1.
2. 12dx = 12x + C
3.
4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du


TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A. Cos x dx = Sin x + C
B. Sin x dx = - Cosx + C
C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx

D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =
=

ÖRNEKLER:
1. Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u -Sin x dx = du
Sin x dx = - du
u2 . (-du) = - u2 . du



2. Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:

3. Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:


LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A.
B.
C. eu du = eu + C
D.

ÖRNEKLER:
1.
2. tan x dx = ?
ÇÖZÜM:

Cos x = u - Sin x dx = du
Sin x dx = - du

= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C
3. ex dx = ex + C

....alıntıdır...